Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы

Правильные полиэдры

(виртуальный урок)


Цель: ознакомить учащихся с понятием правильного полиэдра и полуправильного полиэдра, с пятью типами правильных полиэдров;

развивать пространственное мышление, умение обобщать и рассматривать новый материал;

воспитывать самостоятельность, любовь к красивому, вдохновлять к творчеству Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы.






Теория полиэдров, а именно
выпуклых полиэдров, — одна из самых
интересных глав геометрии.
 Л. А. Люстерни

Сообщения учеников в сопровождении медиа презинтации


«Правильных полиэдров Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы вызывающе не достаточно,
но этот очень умеренный по численности отряд смог
пробраться в самые глубины разных наук»

Л. Кэррол.

^ СОСТАВЬТЕ КОНСПЕКТ





1.Правильные полиэдры…….

2.Полуправильные полиэдры……..

3. Это любопытно…..

^ ОТВЕТЬТЕ (В ТЕТРАДИ) НА ВОПРОСЫ.

  1. Приведите пример Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы полиэдра, все ребра которого равные, но он не является правильным.

  2. Призма (пирамида) является правильным полиэдром. Как по другому можно именовать эту призму (пирамиду)?

  3. Можно ли из правильных полиэдров сложить верный Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы полиэдр? Приведите пример.

  4. Полиэдр сложен с 2-ух равных правильных тетраэдров с одной их общей гранью. Можно ли считать этот полиэдр правильным?

  5. Государственная библиотека Белоруссии в форме какой фигуры выполнена?










Правильным полиэдром именуется выпуклый Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы полиэдр, грани которого – равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех верхушках равны меж собой. Подтверждено, что в каждой из вершин правильного полиэдра сходится одно и то же число граней и одно и Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы то же число ребер.

^ Всего в природе существует 5 правильных полиэдров (почему?).

Тетраэдр

Октаэдр

Гексаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

Наименования правильных полиэдров пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим прекрасным телам посвящена 13-я книжка "Начал" Евклида. Их еще именуют телами Платона, т.к. они занимали принципиальное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.

Изучая любые полиэдры Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы, естественнее всего подсчитать, сколько у него граней, сколько ребер и вершин. Как и для всех выпуклых полиэдров, для правильных справедлива формула Эйлера.

«Правильных полиэдров вызывающе не достаточно,
но этот очень умеренный Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы по численности отряд смог
пробраться в самые глубины разных наук»

Л. Кэррол.

Правильные полиэдры

Иоганн Кеплер называл куб "родителем" всех правильных полиэдров. На базе куба он сумел выстроить все другие виды правильных полиэдров.

Найдем такое число x, при котором все ребра этого полиэдра равны, т. е. он верный. Т.к. куб симметричен Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы, то все ребра, не принадлежащие граням куба равны меж собой. Примем длину ребра куба за a. Разглядим треугольник ABC (рис. 2), где AC = a – x, BC2= CD2+ BD2 = 1/4 a2+ 1/4 x2 По аксиоме Пифагора получаем Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы: AB2 = AC2+ CB2 = ( x2+ a2 + (a – x)2 ) / 4.

Приравнивая AB к x, получаем квадратное уравнение: x2+ a x – a2= 0, откуда x = a ( 5 – 1) / 2. Любопытно, что приобретенный множитель при a, т. е. отношение ребра куба Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы к ребру вписанного в него икосаэдра – не что другое, как золотое сечение.

Сейчас докажем равенство двугранных углов. Разглядим 5 ребер, выходящих из точки A. Концы их всех равноудалены и от точки A, и Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы от центра куба O. Отсюда следует, что они лежат на скрещении 2-ух сфер с центрами A и O, а означает – на окружности, при этом ребра, соединяющие их с точкой A Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы, равны. Означает, эти 5 точек и точка a – верхушки правильной пирамиды, а ее двугранные углы при верхушке равны.

^ Философия Платона

Величавый древнегреческий ученый Платон Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы, живший в IV-V вв. до н. э. и его ученики в собственных работах уделяли огромное внимание правильным полиэдрам, и их потому еще именуют "платоновыми телами". Они считали, что эти тела олицетворяют суть природы. Населению Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы земли были известны четыре стихии: огнь, вода, земля и воздух. По воззрению Платона их атомы имели вид правильных полиэдров: огня — тетраэдр, земли  — гексаэдр, воздуха  —октаэдр, воды  — икосаэдр. Но оставался Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы еще додекаэдр, для которого отсутствует полное соответствие. Платон представил, что существует еще одна сущность- мировой эфир, атомы которого имеют вид додекаэдра.

Появляется вопрос «какими соображениями управлялся Платон, приписывая частичкам огня форму тетраэдра, частичкам земли – форму Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы куба и т.д.?». Тут он учитывает чувственно-воспринимаемые характеристики соответственных стихий. Огнь – более подвижная стихия, он обладает разрушительным действием, проникая в другие тела (сжигая либо расплавляя, либо испаряя Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы их); при соприкосновении с ним мы испытываем чувство боли, как если б мы укололись либо порезались.

Какие частички могли бы определить все эти характеристики и деяния? Разумеется, более подвижные и легкие частички, и Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы притом владеющие режущими гранями и колющими углами. Из 4 полиэдров, о которых может идти речь, в большей степени удовлетворяет тетраэдр. Потому, гласит Платон, образ пирамиды (т.е. тетраэдра) и должен быть в Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы согласии с правильным рассуждением и с правдоподобием, первоначалом и семенем огня. Напротив, земля выступает в нашем опыте как самая недвижная и устойчивая из всех стихий. Потому частички, из которых она состоит, обязаны иметь самые Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы устойчивые основания. Из всех 4 тел этим свойством в наибольшей мере обладает куб. Аналогичным образом с 2-мя иными стихиями мы соотнесем частички, владеющие промежными качествами. Икосаэдр, как самый обтекаемый, представляет частицу Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы воды, октаэдр – частичку воздуха.

5-ый полиэдр – додекаэдр – воплощал внутри себя «все сущее», символизировал весь мир и почитался главнейшим.


^ Почему их 5?

Подтверждение того, что существует ровно 5 правильных выпуклых полиэдров, очень обычное. Разглядим развертку Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы верхушки такового полиэдра. Любая верхушка может принадлежать трем и поболее граням.


Таким макаром, мы удостоверились, что Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы существует только 5 выпуклых правильных полиэдров - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.

Тетраэдр

Икосаэдр

Гексаэдр

Октаэдр

Додекаэдр


^ Полуправильные полиэдры

Вместе с правильными полиэдрами есть еще полиэдры, у каких все многогранные Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы углы равны, а грани – правильные многоугольники нескольких видов. Они не могут быть отнесены к правильным – их именуют полуправильными полиэдрами.

В полуправильных полиэдрах равны одноименные многоугольники; при этом в каждой верхушке сходится Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы одно и тоже число схожих граней; в схожем порядке любой из этих полиэдров может быть вписан в сферу.

Естественно, появляется вопрос: сколько всего существует полуправильных полиэдров? Более 2-ух тыщ лет задумывались Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы, что только тринадцать (их именуют телами Архимеда, т.к. конкретно ему принадлежит их открытие), не считая 2-ух безграничных серий, составленных из призм и антипризм.

Разрешите именовать тела Архимеда и показать их изображение.

Но в Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы текущее время находят все новые и новые полуправильные полиэдры. Так математик В.Г. Ашкинузе отыскал очередной полуправильный полиэдр. Если в полиэдре ромбокубооктаэдр верхнюю «восьмиугольную чашу» повернуть на 45º, то получим полиэдр, который Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы «не совершенно архимедово» тело: он не обладает некими качествами, которыми владеют тела Архимеда, но зато у него есть свои характеристики. Не считая этого, можно еще представить полуправильные полиэдры.

Антипризма

Представьте для себя, к примеру Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы, два правильных шестиугольника, расположенных в параллельных плоскостях, один из которых повернут относительно центра другого на 30 градусов. Любая верхушка, как нижнего, так и верхнего шестиугольников, соединена с наиблежайшими верхушками другого. Расстояние меж шестиугольниками (основаниями Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы) подбирается так, чтоб боковыми гранями были правильные треугольники.

У шестиугольной антипризмы 12 вершин, 14 граней и 24 ребра, все ребра и все четырехгранные углы равны меж собой.

Используя для призм и антипризм Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы все правильные многоугольники мы получим нескончаемые серии полуправильных полиэдров. Но, эти серии не исчерпывают всех равноугольно полуправильных полиэдров.

^ Полуправильные полиэдры







Полуправильные полиэдры









^ Полуправильные полиэдры







^ Полуправильные полиэдры



Это любопытно

Теория Кеплера

Кеплер Иоганн (Kepler I,1571-1630г) – германский астролог. Открыл законы движения планет. В 1596 году Кеплер предложил правило, по которому вокруг сферы Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы Земли описывается додекаэдр, а в нее вписывается икосаэдр. ( «Гармония мира» 1619г.)

И.Кеплер представил, что расстояния меж орбитами планет можно получить на основании Платоновых тел, вложенных друг в друга. Результаты его расчётов отлично Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы согласовались с действительными расстояниями меж планетными орбитами

Очень оригинальна космологическая догадка Кеплера, в какой он попробовал связать некие характеристики Галлактики со качествами правильных полиэдров. Кеплер представил, что расстояния меж шестью известными тогда Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы планетками выражаются через размеры 5 правильных выпуклых полиэдров (Платоновых тел). Меж кажд ой парой "небесных сфер", по которым, согласно этой догадке, крутятся планетки, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, наиблежайшей к Солнцу Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы планетки, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр.

Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. В конце концов, вокруг куба описана сфера Сатурна.

Эта модель смотрелась для собственного времени достаточно правдоподобно. Во-1-х, расстояния, вычисленные с помощью этой Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы модели, были довольно близки к настоящим (беря во внимание доступную тогда точность измерения). Во-2-х, модель Кеплера давала разъяснение, почему существует только 6 (конкретно столько было тогда понятно) планет - конкретно 6 планет гармонировали с Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы пятью Платоновыми телами.

Но даже тогда эта симпатичная модель имела один значимый недочет: сам же Кеплер показал, что планетки крутятся вокруг Солнца не по окружностям ("сферам"), а по эллипсам (1-ый закон Кеплера). Нечего и Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы гласить, что позднее, с открытием еще 3-х планет и поболее четким измерением расстояний, эта догадка была на сто процентов отвергнута.

Увидено, что наша матушка-Земля поочередно проходит эволюцию правильных больших фигур. Существует Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы много данных о сопоставлении структур и процессов Земли с вышеуказанными фигурами.

Считают, что четырем геологическим эрам Земли соответствуют четыре силовых каркаса правильных Платоновских тел: Протозоа - тетраэдр (четыре плиты) Палеозою - гексаэдр Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы (6 плит) Мезозою - октаэдр (восемь плит) Кайнозою - додекаэдр (двенадцать плит).

^ Полиэдры в искусстве



Мир наш исполнен симметрии. С древних времен с ней связаны наши представления о красе. Наверняка, этим разъясняется непреходящий энтузиазм человека Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы к правильным полиэдрам - необычным символам симметрии, привлекавшим внимание огромного количества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Форма первоэлемента Земли - куб, Воздуха - октаэдр, Огня - тетраэдр, Воды - икосаэдр, а всему миру творец Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы придал форму пятиугольного додекаэдра. О том, что Земля имеет форму шара, учили Пифагорейцы. По Пифагору, существует 5 телесных фигур: высшее божество само выстроило Вселенную на основании геометрической формы додекаэдра. Земля подобна Вселенной Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы, и у Платона Земля – тоже додекаэдр. (Сальвадор Дали. Потаенная вечеря (1955))

Морис Эшер. “Пресмыкающиеся”(литография, 1943 г).

Надгробный монумент в кафедральном
соборе Солсбери

Титульный лист книжки Ж. Кузена
«Книга о перспективе»


^ Полиэдры в природе

Полиэдры в Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы природе

Правильные полиэдры – самые прибыльные фигуры. И природа этим обширно пользуется. Доказательством тому служит форма неких кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Понятно, что она отлично растворима в воде Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы, служит проводником электронного тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба (см. рис.).

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квасцами (K[Al(SO4)2]·12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы.

Получение серной кислоты, железа, особенных видов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого хим вещества имеют форму додекаэдра (см.рис.).

В различных хим реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы4)) – вещество, синтезированное учеными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Последний верный полиэдр – икосаэдр передает форму кристаллов бора (B). В свое время бор употреблялся для сотворения полупроводников первого поколения.

Итак, благодаря Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы правильным полиэдрам, открываются не только лишь изумительные характеристики геометрических фигур, да и пути зания природной гармонии.


Литература:



УЧРЕЖДЕНИЕ Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно ответьте (в тетради) на вопросы ОБРАЗОВАНИЯ

«РЕЧИЦКИЙ Муниципальный РАЙОННЫЙ ЛИЦЕЙ»







Из опыта работы

учителя арифметики

Аристовой

Лилии Станиславовны


г. РЕЧИЦА, 2007 г




sostavnaya-gruppa-419-g0-g1ok-010-93-g0-obsherossijskij-klassifikator-zanyatij.html
sostavnaya-gruppa-814-g0-g1ok-010-93-g0-obsherossijskij-klassifikator-zanyatij.html
sostavnie-chasti-fotometrov.html